Trigonometrik Denklemler
BU KONUYA TEKRAR ÇALIŞ!
Ders notlarını okuman yetmez, soruların nasıl çözüldüğüne de bakman gerekiyor.
sinx = a Denkleminin Çözümü
\(-1 \le a \le 1\) olmak üzere \(sinx=a\) denklemini sağlayan \([0,2\pi)\) aralığındaki en küçük pozitif açının ölçüsü radyan cinsinden \(\alpha\) olsun.
Şekildeki birim çemberde;
- \(sin\alpha = a\) ise \(sin(\pi-\alpha)=sina\) olduğundan,
Aynı zamanda;
- \(sin(\pi - \alpha) = a\) olur.
\(\alpha\), denklemin bir kökü ise \(\pi - \alpha\) da denklemin bir köküdür.
Sinüs fonksiyonunun periyodu \(2\pi\) dir. Her \(2\pi\) de bir fonksiyon aynı değeri alır. Buna göre, \(sinx = a\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\[CK = \{x | x=\alpha+k.2\pi \lor x = \pi - \alpha + k.2\pi, k\in Z\} \]
Basit Soru Çözme Algoritması
Soru: x, 0 ile 360 arasında ve \(sin2x = 1/2\) ise x'in kökleri nelerdir?
- sin30 = 1/2 dir. Yani \(sin2x = sin30\) olur.
- \(sin30=sin(180-30)\) olduğundan \(sin2x = sin150\) denklemi de doğrudur.
- sinüs'ün periyodu \(2\pi\) olduğundan \(sin2x=sin30=sin(30+2\pi.k)\) dir. Buradan \(2x = 30+2\pi.k\) genel ifadesi bulunur. \(sin2x=sin30\) olabilmesi için 2x'in alabileceği değerler \(30+2\pi\) dir.
- 2x sadece 30 değildir.
- Aynı şekilde \(sin2x = sin150 = sin(150+2\pi.k)\) olduğundan, \(2x = 150+2\pi.k\) değerlerini alabilir.
- k yerine tam sayılar yazılarak x'in 0 ile 360 arasındaki değerleri bulunur.
Her x reel sayısı için \(-1 \le sinx \le 1\) olduğundan; \(a > 1\) ya da \(a < -1\) için \(sinx=a\) denkleminin kümesi boş kümedir.
cosx = a Denkleminin Çözümü
\(-1 \le a \le 1\) olmak üzere \(cosx=a\) denklemini sağlayan \([0,2\pi)\) aralığındaki en küçük pozitif açının ölçüsü radyan cinsinden \(\alpha\) olsun.
Şekildeki birim çemberde;
- \(cos\alpha = a\) ise \(cos(-\alpha)=cos\alpha\) olduğundan;
Aynı zamanda;
- \(cos(-\alpha) = a\) olur.
\(\alpha\), denklemin bir kökü ise \(-\alpha\) da denklemin bir köküdür.
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \(2\pi\) dir. Buna göre, \(cos x = a\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\[CK = \{x | x=\alpha+k.2\pi \lor x = - \alpha + k.2\pi, k\in Z\} \]
sinx = cosa Denkleminin Çözümü
\(sinx = cos\alpha\) denkleminde, sinx ifadesi yerine \(cos(90-x)\) ifadesi yazılır.
- cos(90-x)=cosa denklemi elde edilir ve çözüm yapılır.
Ya da cosa ifadesi yerine \(sin(90-a)\) ifadesi yazılır.
- sinx = sin(90-a) denklemi elde edilir ve çözüm yapılır.
Sinüs ifadesinin kosinüs ifadesine eşit olması, açılar toplamı 90+360.k veya -90+360.k derece olduğunda gerçekleşir. Yani x+a=90+360.k ve x-a=-90+360.k dır, ve indirgeme yapılarak kosinüs sinüse, sinüs kosinüse çevrilebilir.
tanx = a Denkleminin Çözümü
\(tanx = a\) denklemini sağlayan, \([0,2\pi)\) aralığındaki en küçük pozitif açının ölçüsü radyan cinsinden \(\alpha\) olsun.
Tanjant fonksiyonunun periyodu \(\pi\) dir, \(2\pi\) değil. Her \(\pi\) de bir aynı değeri verir.
Bu yüzden \(tanx = a\) denkleminin çözüm kümesi iki ayrı denklemle değil, tek bir denklemle ifade edilebilir, ve aşağıdaki gibidir.
\[CK = \{x|x=\alpha+k.\pi, k\in Z\} \]
cotx = a Denkleminin Çözümğ
\(cotx = a\) denklemini sağlayan, \([0,2\pi)\) aralığındaki en küçük pozitif açının ölçüsü radyan cinsinden \(\alpha\) olsun.
Kotanjant fonksiyonunun periyodu \(\pi\) dir, \(2\pi\) değil. Her \(\pi\) de bir aynı değeri verir.
Bu yüzden \(cotx = a\) denkleminin çözüm kümesi iki ayrı denklemle değil, tek bir denklemle ifade edilebilir, ve aşağıdaki gibidir.
\[CK = \{x|x=\alpha+k.\pi, k\in Z\} \]
tanx = cota Denkleminin Çözümü
\(tanx = cot\alpha\) denkleminde;
\(tanx\) ifadesi yerine \(cot(\pi/2 - x)\) yazılır.
- \(cot(\pi/2 - x) = cot\alpha\) denklemi elde edilir ve çözüm yapılır.
Ya da, \(cot\alpha\) ifadesi yerine \(tan(\pi/2-a)\) yazılır.
- \(tanx = tan(\pi/2 - \alpha)\) denklemi elde edilir ve çözüm yapılır.
\(tana = cotb\) ise \(a+b=90+k.180\) dır.
Tanjant ve kotanjant içeren denklemlerde bulunan kök verilen ifadeyi tanımsız yapıyorsa bu kök çözüm kümesine alınmaz.
Payda içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan kök çözüm kümesi içine alınmaz.
a.sinx + b.cosx = c Denkleminin Çözümü
\(a,b,c\in R\) için, \(a.sinx+b.cosx=c\) denklemi coxs ve sinx'e bağlı doğrusal denklemdir.
\(a.sinx+b.cosx=c\) denkleminin çözümü için denklemin her iki tarafı, sinx veya cosx in katsayısına bölünür.
\[sinx + \frac{b}{a}.cosx = \frac{c}{a} \]
Denkleminde \(b/a = \tan{\alpha}=sin\alpha/cos\alpha\) yazarsak, aşağıdaki denklem elde edilir.
Ardından bunun çözümü yapılarak soru çözülür.
a.sinx + b.cosx = T Ifadesi
\(a.sinx+b.cosx = T\) ifadesi
\[-\sqrt{a^2+b^2} \le T \le \sqrt{a^2+b^2} \]
Aralığında değerler alır.
Eşitlik bu aralıkta verilmezse denklemin çözüm kümesi boş küme olur.
- \((a,b,T,x \in R)\)
Questions
- Trigonometrik Fonksiyonlarda indirgemeye ve negatif açıların trigonometrik değerlerine çalışmalısın.
- Trigonometrik Fonksiyonlar
- Trigonometrik Fonksiyonlar
- cos60 = 1/2 eder. cosx = -1/2 ise x 2. veya 3.. bölgede bir açı olmalıdır.
- 3. bölgede bir açı bulmak ve Kosinüs olarak kalmak istiyorsak 180 den 60'ı çıkarmalı veya eklemeliyiz. \((180\pm 60)\)
- Sonuç olarak cos120 ve cos240 değerlerinin ikisi de -cos60'a eşittir. Bunu indirgeme yaparak kontrol edebilirsin.
- Bu soruyu tekrar çöz.
- 90 ve 90'ın katları tanjantta tanımsız olduğu için sorunun cevabı boş kümedir.
- Bu soruda sinx leri sadeleştirmemizden ötürü köklere 0,180 ve 360 dereceleri eklememiz gerektiğini söyledi. Fakat bunu hiç anlatmamıştı. Daha detaylı bakmam gerekecek.
a.sinx+b.cosx=c Denkleminin Çözümü
