Öteleme ve Dönme Dönüşümü

Öteleme Dönüşümü

Bir şeklin boyutları bozulmadan yerinin değiştirilmesine öteleme dönüşüm hareketi denir. Ötelemede biçim, boyut ve yön değişmez.

Şekildeki birim kareli zeminde verilen Z harfi 3 birim sağa ve 4 birim aşağıya ötelenmiştir.

Analitik Düzlemde Öteleme Dönüşümü

Analitik düzlemde öteleme dönüşüm hareketi yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde, belirtilen birim kadar nokta ötelenir.

Sağa ve sola öteleme dönüşümü hareketi x eksenine paralel olarak, yukarı aşağı öteleme dönüşüm hareketi ise y eksenine paralel olarak yapılır.

x ekseni boyunca pozitif veya negatif yönde (sağ-sol)
y ekseni boyunca pozitif veya negatif yönde (yukarı-aşağı) şeklinde ifade edilir.

Dönme Dönüşümü

Bir şeklin veya noktanın, başka bir nokta etrafında belirli bir yönde (saat yönünde veya saatin tersi yönünde), belirli bir açı ile döndürülmesine dönme dönüşümü denir.

Etrafında döndürüldüğü noktaya dönme merkezi denir.
Saat yönü negatif yön, saatin tersi yönü pozitif yöndür.

Dönme Formülü

Şekilde, \(P(x,y)\) noktasının orijin etrafında pozitif yönde (saatin tersi yönünde) \(\alpha\) açısı kadar dönme dönüşümüyle elde edilen yeni konumlar aşağıdaki formülle gösterilir.

\[\textcolor{yellow}{R_{\alpha}(P) = P' = (x.\cos{\alpha} - y.\sin{\alpha},\quad x.\sin{\alpha} + y.\cos{\alpha})} \]

\(\alpha\) açısına dönme açısı denir ve bu dönüşüm \(R_\alpha\) ile gösterilir.
P ve P' noktalarının orijine uzaklıkları eşittir.

Eğer negatif yönde kaç derece döndüğü verilirse, bunun pozitif yönde kaç dereceye eşit olduğunu bulup formülü pozitif yöndeki değere göre uygula.

90 Derece Dönme Dönüşümü

P(x,y) noktası orijin etrafında;

Pozitif yönde \(90\degree\) döndürülürse \(P'(-y, x)\)
Negatif yönde \(90\degree\) döndürülürse \(P"(y, -x)\) elde edilir.

90 derece döndürüldüğünde x ve y yer değiştirir. Pozitif yönde döndürülürse x'in önüne (-), negatif yönde döndürülürse y'nin önüne (-) gelir.

Pratik Yol

Bir noktayı orijin etrafında 90 derece döndürürken, önce işaretlerine bakılmaksızın koordinatlarını yer değiştirip daha sonra koordinat düzleminde hangi bölgeye geldi ise o bölgenin işaretini verebiliriz.

180 Derece Dönme Dönüşümü

Bir nokta orijin etrafında 180 derece döndürüldüğünde apsis ve ordinatı işaret değiştirir.

P(x,y) noktası orijin etrafında 180 derece döndürülürse P'(-x,-y) elde edilir.

180 derece dönmede yön önemli değildir.

Questions

Direkt negatif yönde 90 derece dönmesine eşitti. Bu kadar uğraşa gerek yoktu.

Bu soru temel benzerlik teoremi ve kelebekte alanlar oranından çözülür.